01. Arithmetic Progression क्या है?
ऐसी sequence जिसमें consecutive terms के बीच का difference
हमेशा same रहता है, उसे Arithmetic Progression (AP) कहते हैं.
इस common difference को d से denote करते हैं.
✏ Example 1
2, 5, 8, 11, 14, ...
5 − 2 = 3
8 − 5 = 3
11 − 8 = 3
हर difference same है.
इसलिए यह
AP है.
d = 3
✏ Example 2
20, 17, 14, 11, 8, ...
17 − 20 = −3
14 − 17 = −3
11 − 14 = −3
इसलिए यह भी AP है.
d = −3
⭐ Important:
AP में terms बढ़ भी सकती हैं और घट भी सकती हैं.
d > 0 → increasing AP
d < 0 → decreasing AP
d = 0 → constant AP
02. AP नहीं है — कैसे पहचानें?
Consecutive terms के differences निकालो.
अगर differences equal नहीं हैं,
तो sequence AP नहीं है.
✏ Example
2, 4, 7, 11, 16
4 − 2 = 2
7 − 4 = 3
11 − 7 = 4
16 − 11 = 5
Differences:
2, 3, 4, 5
Same नहीं हैं.
❌ Therefore, यह AP नहीं है.
03. Terms of an AP
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
यह AP का general form है.
a = first term
d = common difference
Terms:
1st = a
2nd = a + d
3rd = a + 2d
4th = a + 3d
✏ Example
5, 8, 11, 14, ...
a = 5
d = 8 − 5 = 3
Therefore:
1st = 5
2nd = 5 + 3 = 8
3rd = 5 + 2(3) = 11
04. Common Difference (d) ⭐⭐⭐
✏ Example
7, 12, 17, 22, ...
d = 12 − 7
d = 5
✏ Negative d
30, 25, 20, 15, ...
d = 25 − 30
d = −5
05. Unknown Term / Missing Term
अगर कुछ terms दी हों और बीच में term missing हो,
तो AP का common difference use करो.
✏ Example
3, __, 11, 15, ...
11 और 15 के बीच difference:
15 − 11 = 4
इसलिए d = 4.
Missing term = 11 − 4
= 7
AP:
3, 7, 11, 15, ...
06. nth Term of an AP ⭐⭐⭐
जहाँ:
a = first term
d = common difference
n = term number
aₙ = nth term
✏ Example
AP:
3, 7, 11, 15, ...
Find the 10th term.
a = 3
d = 4
n = 10
a₁₀ = a + (n − 1)d
= 3 + (10 − 1)(4)
= 3 + 36
= 39
⭐ Most Important Formula:
aₙ = a + (n − 1)d
07. किसी भी Particular Term को Find करना
✏ Example
AP:
7, 10, 13, 16, ...
Find the 25th term.
a = 7
d = 3
n = 25
a₂₅ = 7 + (25 − 1)(3)
= 7 + 72
= 79
08. Given Number कौन-सा Term है? ⭐⭐⭐
अगर question पूछे:
"कौन-सा term 100 है?"
तो:
aₙ = 100
और nth-term formula में n solve करो.
✏ Example
AP:
5, 9, 13, 17, ...
Which term is 81?
a = 5
d = 4
aₙ = 81
81 = 5 + (n − 1)4
76 = 4(n − 1)
19 = n − 1
n = 20
Therefore, 81 is the
20th term.
09. Number of Terms Find करना
अगर first term, last term और common difference दी हो,
तो पहले nth-term formula लगाकर n find करो.
✏ Example
7, 10, 13, ..., 97
Find number of terms.
a = 7
d = 3
aₙ = 97
97 = 7 + (n − 1)3
90 = 3(n − 1)
30 = n − 1
n = 31
Number of terms =
31
10. Arithmetic Mean (AM)
दो numbers a और b के बीच arithmetic mean:
✏ Example
8 और 20 का arithmetic mean:
AM =
8 + 20
2
= 14
इसलिए 8,
14, 20 एक AP बनाते हैं.
11. एक Arithmetic Mean Insert करना
✏ Example
5 और 17 के बीच एक AM insert करो.
x =
5 + 17
2
x = 11
AP:
5, 11, 17
12. दो Arithmetic Means Insert करना
अगर a और b के बीच n arithmetic means insert करने हों,
तो total terms:
n + 2
और:
d =
b − a
n + 1
✏ Example
4 और 16 के बीच 2 arithmetic means insert करो.
a = 4
b = 16
n = 2
d =
16 − 4
2 + 1
= 4
AP:
4, 8, 12, 16
Therefore:
8 and 12 are the required means.
13. n Arithmetic Means Insert करना ⭐⭐⭐
✏ Example
10 और 40 के बीच 4 arithmetic means insert करो.
a = 10
b = 40
n = 4
d =
40 − 10
4 + 1
= 6
AP:
10, 16, 22, 28, 34, 40
Required means:
16, 22, 28, 34
14. Sum of First n Terms ⭐⭐⭐
यह formula तब use करो जब:
first term = a
common difference = d
number of terms = n
✏ Example
Find the sum of first 10 terms of:
2, 5, 8, 11, ...
a = 2
d = 3
n = 10
S₁₀ =
10
2
[2(2) + (10 − 1)(3)]
= 5[4 + 27]
= 5 × 31
= 155
15. Sum using First & Last Term ⭐⭐⭐
यहाँ:
a = first term
l = last term
n = number of terms
✏ Example
Find sum:
5 + 8 + 11 + ... + 50
First:
a = 5
d = 3
l = 50
पहले n find करें:
50 = 5 + (n − 1)3
45 = 3(n − 1)
15 = n − 1
n = 16
अब:
Sₙ =
16
2
(5 + 50)
= 8 × 55
= 440
16. Important Special APs
✏ Example
Find:
1 + 2 + 3 + ... + 20
S =
20 × 21
2
= 210
17. Last Term Given हो तो
अगर last term l दी हो,
तो पहले n find करना useful रहता है:
✏ Example
Find the sum of:
10 + 15 + 20 + ... + 100
a = 10
d = 5
l = 100
100 = 10 + (n − 1)5
90 = 5(n − 1)
18 = n − 1
n = 19
S₁₉ =
19
2
(10 + 100)
= 19 × 55
= 1045
18. Given nth Term से First Term Find करना
✏ Example
20th term = 95
d = 4
a = 95 − (20 − 1)(4)
= 95 − 76
= 19
19. Two Terms Given हों तो d Find करना
अगर aₘ और aₙ दिए हों:
aₘ = a + (m − 1)d
aₙ = a + (n − 1)d
दोनों equations subtract करके d निकाला जा सकता है.
✏ Example
एक AP में:
5th term = 18
9th term = 30
Difference:
30 − 18 = 12
Term difference = 9 − 5 = 4
4d = 12
d = 3
20. Three Numbers in AP ⭐⭐⭐
अगर तीन numbers AP में हैं,
तो उन्हें convenient form में:
a − d, a, a + d
लिख सकते हैं.
✏ Example
तीन numbers AP में हैं और उनका sum 24 है.
Numbers:
a − d, a, a + d
Sum:
3a = 24
a = 8
इसलिए numbers:
8 − d, 8, 8 + d
Additional information मिलने पर d find किया जाएगा.
⭐ तीन consecutive terms in AP:
a − d, a, a + d
21. Four Numbers in AP
चार numbers को AP में लिखने का convenient form:
a − 3d, a − d, a + d, a + 3d
✏ Example
चार numbers AP में हैं और उनका sum 40 है.
Numbers:
a − 3d, a − d, a + d, a + 3d
Sum:
4a = 40
a = 10
Numbers:
10 − 3d,
10 − d,
10 + d,
10 + 3d
22. AP Word Problems ⭐⭐⭐
Word problem में पहले यह identify करो कि:
• First term क्या है?
• Common difference क्या है?
• Number of terms क्या है?
• Last term क्या है?
• Sum चाहिए या particular term?
✏ Example — Saving Money
एक student पहले month ₹100 save करता है और
हर अगले month ₹50 ज्यादा save करता है.
पहले 6 months में total saving?
यह AP है:
100, 150, 200, 250, ...
a = 100
d = 50
n = 6
S₆ =
6
2
[2(100) + (6 − 1)(50)]
= 3[200 + 250]
= 3 × 450
= ₹1350
23. Sum of Last Few Terms
अगर पूरी AP का sum दिया हो और first few terms का sum चाहिए,
तो difference method useful है.
इसी तरह:
Sum of last terms = Total Sum − Sum of preceding terms
✏ Example
AP के first 20 terms का sum 500 है.
पहले 15 terms का sum 330 है.
तो last 5 terms का sum:
S₂₀ − S₁₅
= 500 − 330
= 170
24. Sₙ से nth Term Find करना
अगर consecutive sums दिए हों,
तो nth term निकाली जा सकती है:
✏ Example
अगर:
S₁₀ = 150
S₉ = 126
तो:
a₁₀ = S₁₀ − S₉
= 150 − 126
= 24
⚠️ यह relation तभी use करो जब question में
consecutive sums जैसे Sₙ और Sₙ₋₁ दिए हों.
25. AP Check करने का Fast Method
Step 1: Consecutive terms का difference निकालो.
Step 2: Differences compare करो.
Step 3: Same हैं → AP.
Step 4: Same नहीं हैं → Not AP.
✏ Example
11, 7, 3, −1, −5
7 − 11 = −4
3 − 7 = −4
−1 − 3 = −4
−5 − (−1) = −4
d = −4
Therefore, AP ✅
26. One-Page AP Formula Revision ⭐⭐⭐
27. Special Series — Quick Recall
| Series |
Sum |
| 1 + 2 + 3 + ... + n |
n(n + 1)/2 |
| 2 + 4 + 6 + ... + 2n |
n(n + 1) |
| 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) |
n² |
✏ Example
First 10 odd numbers का sum:
= 10²
= 100
28. Exam Traps ⚠️
❌ d निकालते समय order उल्टा मत करो.
❌ nth term में n − 1 भूलना नहीं.
❌ Sₙ में n/2 को पूरी bracket पर multiply करना है.
❌ Last term को बिना verify किए n मत मानो.
❌ "which term" question में n का answer integer होना चाहिए.
❌ AP होने के लिए difference equal होना चाहिए,
सिर्फ sequence बढ़ना जरूरी नहीं.
❌ Negative common difference को positive मत बना देना.
29. AP Question देखकर क्या करना है?
AP पहचाननी है?
→ Consecutive differences check करो.
nth term?
→ aₙ = a + (n − 1)d
Which term?
→ aₙ को given value के बराबर रखो.
Number of terms?
→ Last term को aₙ रखकर n निकालो.
Sum?
→ Sₙ formula use करो.
Means insert करने हैं?
→ d = (b − a)/(n + 1)
Three terms in AP?
→ a − d, a, a + d
Four terms in AP?
→ a − 3d, a − d, a + d, a + 3d
🎯 Last-Minute AP Revision
AP:
a, a+d, a+2d, ...
Common Difference:
d = a₂ − a₁
nth Term:
aₙ = a + (n−1)d
Sum:
Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
Another Sum Formula:
Sₙ = n/2 (a+l)
Arithmetic Mean:
AM = (a+b)/2
n Means:
d = (b−a)/(n+1)
Three Terms:
a−d, a, a+d
Four Terms:
a−3d, a−d, a+d, a+3d
Consecutive Sums:
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁