01. Random Experiment
ऐसा experiment जिसका exact result पहले से निश्चित नहीं होता,
उसे Random Experiment कहते हैं.
हम experiment perform कर सकते हैं,
लेकिन उसका result पहले से निश्चित नहीं बता सकते.
✏ Example
एक coin को toss करना.
हमें पहले से पता नहीं कि result
Head आएगा या
Tail.
इसलिए coin toss एक
Random Experiment है.
⭐ Remember:
Random experiment → Result uncertain before experiment.
02. Trial
Random experiment को एक बार perform करने को
Trial कहते हैं.
✏ Example
अगर coin को 10 बार toss किया गया,
तो coin toss करने की हर एक बार की प्रक्रिया =
one trial.
Total trials =
10
03. Outcome
Experiment perform करने पर जो possible result मिलता है,
उसे Outcome कहते हैं.
✏ Example
एक coin toss किया.
Possible outcomes:
इसलिए outcomes हैं:
Head और Tail
04. Sample Space
किसी random experiment के सभी possible outcomes के set को
Sample Space कहते हैं.
इसे सामान्यतः S से denote करते हैं.
✏ Example 1 — Coin
एक coin toss:
S = {H, T}
Total outcomes =
2
✏ Example 2 — Die
एक die को throw करने पर:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Total outcomes =
6
05. Event
Sample space के outcomes में से किसी particular condition को
satisfy करने वाले outcomes का collection एक Event कहलाता है.
Event को सामान्यतः E से denote करते हैं.
✏ Example
एक die throw किया.
Event E = even number आना.
Favourable outcomes:
इसलिए:
E = {2, 4, 6}
06. Equally Likely Outcomes
जब सभी possible outcomes के होने की संभावना समान हो,
तो उन्हें Equally Likely Outcomes कहते हैं.
✏ Example
एक fair coin में:
P(Head) = P(Tail)
दोनों outcomes की chance equal है.
इसलिए H और T
equally likely हैं.
07. Theoretical Probability ⭐⭐⭐
जब सभी possible outcomes equally likely हों,
तो किसी event E की theoretical probability:
✏ Example
एक die को throw किया गया.
Event E = 4 आना.
Favourable outcomes =
1
Total outcomes =
6
Therefore,
P(E) =
1
6
🧠 Exam Formula:
Favourable outcomes ऊपर,
Total outcomes नीचे.
08. Impossible Event
ऐसा event जो हो ही नहीं सकता,
उसे Impossible Event कहते हैं.
इसकी probability:
✏ Example
एक normal die को throw करके
8 प्राप्त करना.
Die पर केवल 1 से 6 तक numbers हैं.
इसलिए 8 आना impossible है.
P(8) =
0
09. Sure Event
ऐसा event जो निश्चित रूप से होगा,
उसे Sure Event कहते हैं.
इसकी probability:
✏ Example
एक die को throw करने पर number
1 से 6 के बीच आएगा.
यह निश्चित है.
Therefore:
P(E) =
1
10. Probability की Range ⭐
किसी भी event की probability कभी भी 0 से कम या 1 से अधिक नहीं हो सकती.
✏ Example
Possible probabilities:
0, 0.25, ½, 0.75, 1
लेकिन:
−0.2 ❌
और
1.5 ❌
⭐ Probability हमेशा:
0 से 1 के बीच रहेगी.
11. Complementary Event ⭐⭐⭐
अगर E एक event है,
तो E के न होने वाले event को
Complementary Event कहते हैं.
इसे Ē या E' से denote किया जा सकता है.
✏ Example
एक die throw किया.
E = even number आना.
P(E) =
3
6
=
1
2
अब odd number E' है.
P(E') = 1 − ½
P(E') =
½
12. Coin Based Questions 🪙
एक fair coin के लिए:
S = {H, T}
Total outcomes = 2
✏ Example — Head की Probability
Favourable outcome = H = 1
Total outcomes = 2
P(H) =
1
2
✏ Example — Two Coins
दो coins toss किए.
S = {HH, HT, TH, TT}
Total outcomes =
4
Exactly one Head:
HT, TH
Favourable outcomes =
2
P(exactly one Head) =
2
4
=
½
13. Dice Based Questions 🎲
एक normal die में possible outcomes:
S = {1,2,3,4,5,6}
Total outcomes = 6
✏ Example — Prime Number
Prime numbers:
2, 3, 5
Favourable outcomes = 3
P(prime) =
3
6
=
½
✏ Example — Number Greater Than 4
Numbers greater than 4:
5, 6
Favourable outcomes = 2
P =
2
6
=
⅓
14. Playing Cards 🃏
एक standard deck में कुल:
52 cards
4 suits होते हैं:
♥ Hearts
|
♦ Diamonds
|
♣ Clubs
|
♠ Spades
हर suit में 13 cards होते हैं.
✏ Example — Red Card
Red suits:
♥ Hearts + ♦ Diamonds
Red cards = 26
Total cards = 52
P(Red) =
26
52
=
½
✏ Example — King
52 cards में 4 Kings होते हैं.
P(King) =
4
52
=
1
13
🧠 Card Facts:
Total = 52
Suits = 4
Cards per suit = 13
Kings = 4
Queens = 4
Jacks = 4
Aces = 4
Face cards = 12
15. "At Least" & "At Most" ⭐
At least → given number या उससे ज्यादा.
At most → given number या उससे कम.
✏ Example
"At least 2"
→ 2, 3, 4, 5 ...
"At most 2"
→ 0, 1, 2
⚠️ Question में "at least" और "at most" देखकर
favourable outcomes carefully लिखना.
16. Complement Method — Smart Trick ⭐⭐⭐
कई questions में required event को directly count करना मुश्किल होता है.
ऐसे cases में:
Required Probability = 1 − Probability of opposite event
✏ Example
एक die throw करने पर number 6 नहीं आने की probability.
P(6) =
1
6
Therefore,
P(not 6) =
1 −
1
6
=
5
6
17. Experimental / Empirical Probability
किसी experiment को कई बार perform करके,
किसी event के होने की frequency के आधार पर probability estimate करना
Experimental / Empirical Probability कहलाता है.
✏ Example
एक coin को 50 बार toss किया गया.
Head 27 बार आया.
Experimental probability of Head:
P(H) =
27
50
⭐ Difference:
Theoretical → equally likely outcomes से calculate.
Experimental → actual experiment के results से estimate.
18. Probability Question Solving Method
STEP 1: Experiment identify करो.
STEP 2: Sample Space लिखो.
STEP 3: Total outcomes count करो.
STEP 4: Favourable outcomes identify करो.
STEP 5: Formula apply करो.
✏ Example
A die is thrown. Find the probability of getting an even number.
Step 1:
S = {1,2,3,4,5,6}
Step 2:
Total outcomes = 6
Step 3:
Even = {2,4,6}
Favourable outcomes = 3
Step 4:
P(E) =
3
6
=
½
19. One-Page Formula Revision ⭐⭐⭐
20. Exam Traps ⚠️
❌ Total outcomes गलत मत लो.
❌ Favourable outcomes में unwanted outcomes मत include करो.
❌ "At least" और "at most" confuse मत करो.
❌ Complementary event में:
1 − P(E)
लगाना मत भूलो.
❌ Probability को 0 और 1 के बाहर answer मत आने दो.
🎯 Last-Minute Probability Revision
Random Experiment
→ Result निश्चित नहीं.
Outcome
→ Experiment का possible result.
Sample Space
→ सभी possible outcomes.
Event
→ Required outcomes का collection.
Probability
→ Favourable / Total equally likely outcomes.
Impossible Event
→ P(E) = 0
Sure Event
→ P(E) = 1
Complement
→ P(E') = 1 − P(E)